A matemática de objetos de aparência simples pode ser surpreendentemente desconcertante. Provavelmente não há maior exemplo disso do que a fita de Möbius.
É um objeto de um lado que pode ser feito simplesmente torcendo um pedaço de papel e conectando as pontas com alguma fita.
Se você seguisse a volta com o dedo, acabaria voltando exatamente para o ponto de partida, tendo tocado toda a superfície da volta ao longo da jornada. Esta criação simples, a fita de Möbius, é fundamental para todo o campo da topologia e serve como um exemplo quintessencial de vários princípios matemáticos.
Um desses princípios é a não orientação, que é a incapacidade dos matemáticos de atribuir coordenadas a um objeto, digamos para cima ou para baixo, ou de um lado a outro. Este princípio tem alguns resultados interessantes, já que os cientistas não têm certeza se o universo é orientável.
Isso representa um cenário desconcertante: se um foguete com astronautas voasse para o espaço por tempo suficiente e depois retornasse, presumindo que o universo era não orientável, é possível que todos os astronautas a bordo voltassem ao contrário.
Em outras palavras, os astronautas voltariam como imagens espelhadas de seu antigo eu, completamente invertidos. Seu coração estaria mais à direita do que à esquerda e eles podem ser canhotos em vez de destros.
Se um dos astronautas tivesse perdido a perna direita antes do vôo, ao retornar, o astronauta não teria a perna esquerda. Isso é o que acontece quando você atravessa uma superfície não orientável como uma fita de Möbius.
Embora esperemos que sua mente esteja explodindo - pelo menos um pouco - precisamos dar um passo para trás. O que é uma fita de Möbius e como um objeto com matemática tão complexa pode ser feito simplesmente torcendo um pedaço de papel?
A História da fita de Möbius
A fita de Möbius foi descoberta pela primeira vez em 1858 por um matemático alemão chamado August Möbius enquanto ele pesquisava teorias geométricas.
Embora Möbius seja amplamente creditado com a descoberta (daí o nome da tira), ela foi descoberta quase simultaneamente por um matemático chamado Johann Listing. No entanto, ele adiou a publicação de seu trabalho e foi derrotado por August Möbius.
A própria fita é definida simplesmente como uma superfície não orientável unilateral que é criada adicionando uma meia torção a uma faixa.
As fitas de Möbius podem ser qualquer faixa que tenha um número ímpar de meias torções, o que acaba fazendo com que a tira tenha apenas um lado e, consequentemente, uma borda.
Desde a sua descoberta, a tira unilateral tem servido de fascínio para artistas e matemáticos. A fita fascinou até MC Escher, levando a suas famosas obras, "Möbius Strip I e II".
A descoberta da fita de Möbius também foi fundamental para a formação do campo da topologia matemática, o estudo das propriedades geométricas que permanecem inalteradas quando um objeto é deformado ou alongado. A topologia é vital para certas áreas da matemática e da física, como equações diferenciais e teoria das cordas.
Por exemplo, de acordo com os princípios topográficos, uma caneca é na verdade uma rosquinha.
O matemático e artista Henry Segerman explica isso melhor em um vídeo do YouTube: "Se você pegar uma caneca de café, pode meio que desentupir o lugar para onde o café vai e pode espremer um pouco a alça e, eventualmente, pode deformá-la em forma de rosquinha redonda simétrica."
Isso explica a piada de que topologista é alguém que não consegue ver a diferença entre uma rosquinha e uma caneca de café.
Veja também: Programa de filtragem censurou a palavra osso em uma conferência de paleontologia
Usos práticos para a fita de Möbius
A fita de Möbius é mais do que apenas uma grande teoria matemática: ela tem algumas aplicações práticas interessantes, seja como um auxiliar de ensino para objetos mais complexos ou em máquinas.
Por exemplo, como a fita de Möbius é fisicamente unilateral, o uso de fita de Möbius em correias transportadoras e outras aplicações garante que a própria correia não sofra desgaste desigual ao longo de sua vida.
O professor associado NJ Wildberger da Escola de Matemática da Universidade de New South Wales, Austrália, explicou durante uma série de palestras que muitas vezes é acrescentada uma torção aos cintos de direção em máquinas, "propositalmente para usar o cinto uniformemente em ambos os lados".
A fita de Möbius também pode ser vista na arquitetura, por exemplo, a Ponte Wuchazi na China.
Dr. Edward English Jr., professor de matemática do ensino médio e ex-engenheiro óptico, diz que quando ele aprendeu sobre a fita de Möbius na escola primária, seu professor o fez criar uma com papel, cortando a fita de Möbius em seu comprimento, criando uma tira mais longa com duas voltas completas.
"Ficar intrigado e exposto a esse conceito de dois 'estados' me ajudou, acho, quando encontrei spin para cima/para baixo dos elétrons", diz ele, referindo-se ao seu estudo de PhD.
"Várias ideias da mecânica quântica não eram conceitos tão estranhos para eu aceitar e entender porque a fita de Möbius me apresentou a tais possibilidades." Para muitos, a fita de Möbius serve como a primeira introdução à geometria e matemática complexas.
Como você pode criar uma fita de Möbius?
Criar uma fita de Möbius é incrivelmente fácil. Simplesmente pegue um pedaço de papel e corte-o em uma tira fina, digamos de 2,5 a 5 centímetros de largura. Depois de cortar a tira, simplesmente gire uma das pontas em 180 graus (meia volta).
Em seguida, pegue um pouco de fita e conecte essa extremidade à outra extremidade, criando um anel com meia torção dentro. Você agora tem uma fita de Möbius!
Você pode observar melhor os princípios dessa forma pegando o dedo e acompanhando as laterais da tira. Você acabará fazendo todo o caminho ao redor da forma e encontrará seu dedo de volta onde começou.
Se você cortar uma fita de Möbius no centro, ao longo de seu comprimento total, ficará com um laço maior com quatro meio-torções. Isso o deixa com uma forma circular torcida, mas que ainda tem dois lados. É essa dualidade que o Dr. English mencionou que o ajudou a entender princípios mais complexos.
Traduzido e adaptado por equipe Conhecimento Agora
Fonte: HowStuffWorks
